Все о треугольниках
Задача
Точка Н является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найти PK, если BH=19.
Дано: ∆ABC, BH — высота,
BH — диаметр окружности (O; R), BH=19, окр.(O;R)∩AB=P, окр.(O;R)∩BC=K
Найти: PK
Вписанный прямой угол обладает свойством, непосредственно вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Утверждение
Вписанный прямой угол опирается на диаметр.
(другой вариант:
вписанный прямой угол опирается на полуокружность).
Дано: окружность (O;R), ∠ABC — вписанный угол,
∠ABC=90º
Доказать: AC — диаметр
Доказательство:
Задача
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СD, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCD и ACD с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CD.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,
окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,
окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5
Найти: CD.
Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.
Утверждение 1
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.
Дано: ∆ABC, ∠C=90º,
CH — высота.
Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,
∆CBH ∼∆ABC,
∆ACH ∼∆CBH.
Задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны.
Доказать, что углы ABD и ACD также равны.
Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,
∠BCA=∠BDA
Доказать:
∠ABD=∠ACD
Доказательство:
Задача.
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AC∩BD=O, O∈FK,
FK∩BC=F, FK∩AD=K
Доказать: BF=DK
Эти утверждения могут быть полезны при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Утверждение 1
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с разными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.