Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
Пример 1.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
Решение:
Условие перпендикулярности прямых
I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2.
Пусть прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 образуют с положительным направлением оси Ox углы α1 и α2 соответственно.
Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.
Условие параллельности прямых
I. Выясним, когда две прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2, параллельны.
Число k1 — угловой коэффициент прямой y=k1x+b1 — равно тангенсу угла, который данная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс:
k1 = tg α1.
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
Выведем уравнение прямой, проходящей через 2 точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2).
Подставим координаты данных точек в уравнение прямой с угловым коэффициентом:
![\[\left\{ \begin{array}{l} y_1 = kx_1 + b; \\ y_2 = kx_2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = y_1 - kx_1 ; \\ b = y_2 - kx_2 . \\ \end{array} \right.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8b2c6153c5c0f114e9477889fdf5cd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Уравнение прямой в отрезках на осях
Уравнение прямой в отрезках на осях позволяет строить прямую в координатной плоскости без каких-либо дополнительных вычислений.
Рассмотрим общее уравнение прямой
![\[ax + by + c = 0\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6669e1ae42cc660f08ff567578c9ff2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
при условии a≠0, b≠0, c≠0 (то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через начало отсчёта).
Общее уравнение прямой
Теорема
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).
Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.
Доказательство:
Угол между биссектрисами внешних углов
Задача.
Один из углов треугольника равен альфа. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.