Треугольники

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Утверждение.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

$r = \frac{{a + b - c}}{2},$

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Доказательство:

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Пример 1.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

Решение:

Условие перпендикулярности прямых

I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂.

uslovie-perpendikulyarnosti-pryamyh Пусть прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ образуют с положительным направлением оси Ox углы α₁ и α₂ соответственно.

Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.

Условие параллельности прямых

I. Выясним, когда две прямые, заданные уравнениями y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂, параллельны.

Число k₁ — угловой коэффициент прямой y=k₁x+b₁ — равно тангенсу угла, который данная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс:

k₁ = tg α₁.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Выведем уравнение прямой, проходящей через 2 точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂).

Подставим координаты данных точек в уравнение прямой с угловым коэффициентом:

$\left\{ \begin{array}{l} y_1 = kx_1 + b; \\ y_2 = kx_2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = y_1 - kx_1 ; \\ b = y_2 - kx_2 . \\ \end{array} \right.$