Задача 1
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус вписанной в него окружности.
Уравнение средней линии
Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?
Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.
1 способ
Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.
Угол между высотами треугольника
Как найти угол между высотами треугольника? Зависит ли величина угла от вида треугольника?
Утверждение.
Один из углов, образованный высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине.
Другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты.
Доказательство:
1 способ
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.
Пусть AK и CF — его высоты.
Точка пересечения медиан треугольника
Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?
1 способ
Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.
Пример.
Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).
Решение:
Уравнение биссектрисы треугольника
Как составить уравнение биссектрисы треугольника по координатам его вершин?
1 способ
Используя уравнение биссектрисы угла:
![\[\frac{{a_1 x + b_1 y + c_1 }}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 } }} = \pm \frac{{a_2 x + b_2 y + c_2 }}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2 } }}.\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3dfaa1ea803f323a8f3d90958de3f227_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Пример.
Уравнение биссектрисы угла
Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.
Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0.
Площадь треугольника по координатам вершин
Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?
1способ:
Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.
2 способ:
вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.