Утверждение
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам.
Дано: ∆ABC,
BP — биссектриса
Доказать:
![\[\frac{{{S_{\Delta ABP}}}}{{{S_{\Delta CBP}}}} = \frac{{AB}}{{BC}}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00cfbeab65f04ede13ec07bcbf72be71_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказательство:
Центр окружности, вписанной в угол
Определение.
Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.
Утверждение
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Дано:
окружность (O; R) вписана в угол ABC, O∈BD
Доказать: BD — биссектриса ∠ABD
Свойство биссектрисы угла
Свойство биссектрисы угла
Любая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон этого угла.
Да
но: BD — биссектриса ∠ABC, F∈BD,
![\[FK \bot AB,FP \bot BC\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6b3a6ec381dfba47d5e033ee6fd200c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать: FK=FP
Доказательство:
Биссектриса угла
Определение
Биссектриса угла — это луч, которых выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит этот угол на два равных угла.
(Название — от латинского bis — дважды и seco — рассекаю).
Например, BD — биссектриса угла ABC,
∠ABD=∠CBD.
Взаимное расположение окружностей
Выясним, каким может быть взаимное расположение двух окружностей.
Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.
I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
Концентрические окружности
Концентрические окружности — это окружности, которые имеют общий центр.Общая хорда двух окружностей
Утверждение
Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.
Дано: окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B.
Доказать:
![\[AB \bot {O_1}{O_2}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ee4cf77cb70d9afcd24d570c2e985ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")