Все о треугольниках
Определение
Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.
Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.
Касание окружностей может быть внешним и внутренним.
Внешнее касание окружностей - это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Выясним, какими свойствами обладают равные хорды.
Утверждение 1
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Дано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,
AB=CD,
![\[OF \bot AB,OK \bot CD\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c6c794311d35d27684fca9895622207_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказать: OF=OK
Теорема о пропорциональности отрезков секущей и касательной
(Свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки)
Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.
Другими словами, квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью. Читать далее
Теорема
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.
Дано:
окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная
Доказать:
![\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aeadf34f33d80a59a7aca1a531a633d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Теорема
(Свойство секущих)
Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.
Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?
Теорема
(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))
Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.
То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то
AF ∙ FB=CF ∙ FD