Все о треугольниках
Задача
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.
Решение:
Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.
По условию, BF:FD=5:4.
Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.
Задача
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.
Дано: ΔABC вписан в окр.(O;R),
CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),
AM=5, MB=10, CD∩AB=D
Найти: CD
Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?
Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.
Задача.
Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).
Если сторона треугольника равна радиусу описанной окружности, то что можно сказать о свойствах такого треугольника?
Как найти уравнение окружности, симметричной данной?
Симметричные окружности имеют равные радиусы. Следовательно, остаётся найти координаты центра симметричной окружности (как точки, симметричной данной).
Примеры.
1) Окружность задана уравнением (x-3)²+(y+2)²=16. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно точки (7; 10).
Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.
Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?
Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.
Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.
Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.