Треугольники

Основания BC и AD трапеции

Рассмотрим еще одну задачу на подобие треугольников.

Задача

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Доказать, что треугольники CBD и BDA подобны.

osnovaniya-bc-i-ad-trapecii Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

BC=9, AD=36, BD=18

Угол между общими касательными

Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?

ugol-mezhdu-obshchimi-kasatelnymi Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.

Найти: ∠KCM

Отрезки общих касательных

Утверждение

Если две окружности касаются внешне, то отрезки общих касательных равны между собой.

otrezki-obshchih-kasatelnyh Пусть окружность (O1;R) и окружность (O2;r) касаются внешним образом в точке H,

A, B, C, D — точки касания окружностей с общими внешними касательными,

P — точка пересечения общих внешних касательных.

F и K — точки пересечения внутренней общей касательной с внешними.

Длина отрезка общей касательной

Утверждение

Если две окружности касаются внешне, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.

dlina-obshchej-kasatelnoj-okruzhnostej Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, AB — общая касательная,

окр. (O1; R)∩AB=A, окр.(O2; r)∩AB=B.

Доказать:

$AB = 2\sqrt {Rr}$

Хорды в точки касания

Утверждение

Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, перпендикулярны.

hordy-perpendikulyarny Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке B, AC — общая касательная,

окр. (O1; R)∩AC=A, окр.(O2; r)∩AC=C.

Общие внешние касательные

Утверждение

Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.

Если две окружности с различными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.