Утверждение.
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:
![\[S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin \varphi \]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87d40725483840edc5f5fddfe1fd209c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(d1, d2 — диагонали четырёхугольника, φ — угол между ними).
Формула расстояния от точки до прямой
![\[d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b171bad2d07f47e12a816816ee5aa44_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Уравнение параллельной прямой
Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y = k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k1x+b2.
Так как эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b:
Уравнение перпендикулярной прямой
Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y=k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид
![\[y = - \frac{1}{{k_1 }}x + b_2 .\]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3afb1894b1023d329a3e3e94b174680_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b.
Координаты точки пересечения прямых
Две прямые на плоскости могут быть параллельными, пересекаться либо совпадать.
Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, надо составить и решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.
Примеры.
Уравнения сторон треугольника
Как составить уравнение сторон треугольника по координатам его вершин?
Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)
Составить уравнения сторон треугольника.
Решение: