Все о треугольниках
Эти утверждения могут быть полезны при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Утверждение 1
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с разными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.
Рассмотрим еще одну задачу на подобие треугольников.
Задача
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Доказать, что треугольники CBD и BDA подобны.
Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,
BC=9, AD=36, BD=18
Если две окружности касаются внешне, как найти угол между их общими внешними касательными?
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, CK и CM — их общие внешние касательные.
Найти: ∠KCM
Утверждение
Если две окружности касаются внешне, то отрезки общих касательных равны между собой.
Пусть окружность (O1;R) и окружность (O2;r) касаются внешним образом в точке H,
A, B, C, D — точки касания окружностей с общими внешними касательными,
P — точка пересечения общих внешних касательных.
F и K — точки пересечения внутренней общей касательной с внешними.
Утверждение
Если две окружности касаются внешне, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке D, AB — общая касательная,
окр. (O1; R)∩AB=A, окр.(O2; r)∩AB=B.
Доказать:
![\[AB = 2\sqrt {Rr} \]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf2f4d8f376b2053ef7f35661aad2d28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Утверждение
Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, перпендикулярны.
Дано: окр. (O1; R) и окр.(O2; r) касаются внешне в точке B, AC — общая касательная,
окр. (O1; R)∩AC=A, окр.(O2; r)∩AC=C.
Утверждение
Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.
Если две окружности с различными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.