В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту

Задача

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.

Решение:

v-treugolnike-bissektrisa-delit-vysotuПусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.

По условию, BF:FD=5:4.

Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.

Читать далее

Биссектриса CM треугольника ABC

Задача

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.

bissektrisa-cm-treugolnika-abcДано: ΔABC вписан в окр.(O;R),

CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),

AM=5, MB=10, CD∩AB=D

Найти: CD

Читать далее

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Задача.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Читать далее

Симметричные окружности

Как найти уравнение окружности, симметричной данной?

Симметричные окружности имеют равные радиусы. Следовательно, остаётся найти координаты центра симметричной окружности (как точки, симметричной данной).

Примеры.

1) Окружность задана уравнением (x-3)²+(y+2)²=16. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно точки (7; 10).

Читать далее

Точка пересечения биссектрис

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Читать далее