Теорема Птолемея

Теорема (Птолемея)

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

teorema-ptolemeyaДано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Доказать:

AC·BD=AB·CD+AD·BC

Доказательство:

Читать далее

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны

Утверждение

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.

diagonali-vpisannogo-chetyrekhugolnikaДано:

окружность (O;d),

ABCD — вписанный четырёхугольник,

AC⊥BD

Доказать: AD² +BC² = d²

Доказательство:

Читать далее

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны

Утверждение 1

Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.

diagonali-chetyrekhugolnika-perpendikulyarnyДано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

AC⊥BD

Доказать:

AB²+CD²=AD²+BC²

Доказательство:

Читать далее

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Читать далее

Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции

Задача

В равнобедренную трапецию, периметр которой 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность.

Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

ot-tochki-peresecheniya-diagonalej-trapeciiДано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AB=CD,

PABCD=220, SABCD=2420,

AC∩BC=F, FK⊥BC

Найти: FK

Читать далее