Признаки прямоугольного треугольника

Самые известные признаки прямоугольного треугольника являются обратными теоремами к двум его свойствам.

Признаки прямоугольного треугольника.

1. (Теорема, обратная теореме Пифагора)

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Читать далее

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника

Утверждение

Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный. 

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.

Читать далее

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне трапеции

Задача

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти AB, если AF=24, BF=10.

Решение основано на свойстве биссектрис при боковой стороне  трапеции, которое в ходе решения задачи надо доказать.

bissektrisy-uglov-a-i-b-pri-bokovojДано:ABCD — трапеция, AD∥BC, AF — биссектриса ∠BAD, BF- биссектриса ∠ABC, AF∩BF=F, AF=24, BF=10

Найти: AB

Читать далее

Биссектрисы углов A и D трапеции

Задача

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

Читать далее

Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Задача

Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

chetyrekhugolnik-abcd-vpisanДано: ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º

Найти: R

Решение:

Читать далее

Угол между хордами

Утверждение

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между  его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

ugol-mezhdu-hordamiДано: окружность (O; R),

AB и CD — хорды, AB∩CD=F

Доказать:

    \[\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD +  \cup BC)\]

Читать далее