Треугольник разделен высотой

Задача

Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СD, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCD и ACD с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CD.

treugolnik-razdelen-vysotoj Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,

окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,

окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5

Найти: CD.

Читать далее

Подобие в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.

Утверждение 1

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два  треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.

podobie-v-pryamougolnom-treugolnikeДано: ∆ABC, ∠C=90º,

CH — высота.

Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,

∆CBH ∼∆ABC,

∆ACH ∼∆CBH.

Читать далее

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая

Задача.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.

cherez-tochku-o-peresecheniya-diagonalej

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC∩BD=O, O∈FK,

FK∩BC=F, FK∩AD=K

Доказать: BF=DK

Читать далее

Внешне касающиеся окружности

Эти  утверждения могут быть полезны при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Утверждение 1

Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны.

Если две окружности с разными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными.

Читать далее