Признак принадлежности четырёх точек одной окружности
Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,
∠ABD=∠ACD
Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности
Доказательство:
Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)
Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
Доказать:
∠A+∠C=180°,
∠B+∠D=180°.
Доказательство:
Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.
Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
1) лежит на средней линии трапеции,
2) равен полуразности оснований трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
F — середина AC, K — середина BD,
MN — средняя линия трапеции
Доказать: FK∈MN,
![\[ FK = \frac{{AD - BC}}{2}. \]](http://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5de3f70e52bf5755392971d24574e6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Замечательное свойство трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.
Сформулируем это свойство иначе:
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Дано:
ABCD- трапеция, AD||BC,
AB∩CD=F, AC∩BD=O,
FO∩AD=K, FO∩BC=P
Доказать: K- середина AD,
P- середина BC
Доказательство:
Утверждение 1
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
AC∩BD=O, F∈AB, K∈CD,
FK||AD, O∈FK
Доказать: O — середина FK.
Доказательство:
Утверждение
Медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника.
Дано: ΔABC,
BM — медиана,
D∈AB, E∈BC, DE||AC,
DE∩BM=F
Доказать: DF=FE
Доказательство: