Если две биссектрисы треугольника равны

Теорема (Штейнера-Лемуса)

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.

dve-bissektrisy-ravnyДано:

ΔABC,

AF, BK — биссектрисы ΔABC,

AF=BK

Доказать: ΔABC — равнобедренный

Доказательство:

Читать далее

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Читать далее

Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции

Задача

В равнобедренную трапецию, периметр которой 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность.

Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

ot-tochki-peresecheniya-diagonalej-trapeciiДано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AB=CD,

PABCD=220, SABCD=2420,

AC∩BC=F, FK⊥BC

Найти: FK

Читать далее

Биссектрисы углов A и B параллелограмма пересекаются в точке K

Задача

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.

Найти площадь параллелограмма, если BC=19,  а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

bissektrisy-parallelogramma-peresekayutsyaДано: ABCD — параллелограмм,

AK, BK — биссектрисы углов BAD и ABC,

AK∩BK=K, KF⊥AB,

KF=10, BC=19

Найти: SABCD

Читать далее

В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны

Задача

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.

Найти стороны треугольника ABC.

bissektrisa-i-mediana-perpendikulyarnyДано: ΔABC,

AD — медиана, BE — биссектриса,

AD=BE=8, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC

Читать далее

Боковые стороны AB и CD трапеции

Задача

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.Найти площадь трапеции.

bokovye-storony-ab-i-cd-trapeciiДано: ABCD — трапеция, AD || BC, BC=2,

AB=16, CD=34, DF — биссектриса ∠ADC, F — середина AB

Найти: SABCD

Решение:

Читать далее

На стороне треугольника как на диаметре построена окружность

Задача

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Найти AH.

Читать далее