Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

 Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

priznak-prinadlezhnosti-tochek-okruzhnosti

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

∠ABD=∠ACD

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Доказательство:

priznak-prinadlezhnosti-chetyryoh-tochekОбозначим ∠ABD=∠ACD=α.

Опишем около треугольника ABD окружность.

Отметим на этой окружности произвольную точку F, лежащую относительно прямой AD в другой полуплоскости, чем точки B и C.

Четырёхугольник ABDF — вписанный в окружность. Следовательно, сумма его противолежащих углов равна 180°:

∠ABD+∠AFD=180°.

Отсюда ∠AFD=180°-∠ABD=180°-α.

Рассмотрим четырехугольник ACDF.

∠ACD+∠AFD=α+180°-α=180°.

Отсюда следует, что четырёхугольник ABDF — вписанный.

Поскольку около треугольника ABD можно описать только одну окружность, то точка C лежит на той же окружности, что и точки A, B и D.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий