Угол между хордами

Утверждение

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между  его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

ugol-mezhdu-hordamiДано: окружность (O; R),

AB и CD — хорды, AB∩CD=F

Доказать:

    \[\angle AFD = \frac{1}{2}( \cup AD +  \cup BC)\]

Читать далее

Точка Н является основанием высоты

Задача

Точка Н является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найти PK, если BH=19.

tochka-yavlyaetsya-osnovaniem-vysotyДано: ∆ABC, BH — высота,

BH — диаметр окружности (O; R), BH=19, окр.(O;R)∩AB=P, окр.(O;R)∩BC=K

Найти: PK

Читать далее

Вписанный прямой угол

Вписанный прямой угол обладает свойством, непосредственно вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Утверждение

Вписанный прямой угол опирается на диаметр.

(другой вариант:

вписанный прямой угол опирается на полуокружность).

vpisannyj-pryamoj-ugolДано: окружность (O;R), ∠ABC — вписанный угол,

∠ABC=90º

Доказать: AC — диаметр

Доказательство:

Читать далее

Треугольник разделен высотой

Задача

Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СD, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCD и ACD с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CD.

treugolnik-razdelen-vysotoj Дано: ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,

окружность (O1;r1) вписана в ∆ACH, r1=12,

окружность (O2;r2) вписана в ∆CBH, r2=5

Найти: CD.

Читать далее

Подобие в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим подобие треугольников в прямоугольном треугольнике.

Утверждение 1

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два  треугольника, каждый из которых подобен данному. Эти треугольники также подобны между собой.

podobie-v-pryamougolnom-treugolnikeДано: ∆ABC, ∠C=90º,

CH — высота.

Доказать: ∆ACH ∼∆ABC,

∆CBH ∼∆ABC,

∆ACH ∼∆CBH.

Читать далее

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая

Задача.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках F и K соответственно. Доказать, что BF=DK.

cherez-tochku-o-peresecheniya-diagonalej

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC∩BD=O, O∈FK,

FK∩BC=F, FK∩AD=K

Доказать: BF=DK

Читать далее