Если диагонали четырехугольника перпендикулярны

Утверждение 1

Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.

diagonali-chetyrekhugolnika-perpendikulyarnyДано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

AC⊥BD

Доказать:

AB²+CD²=AD²+BC²

Доказательство:

Из прямоугольных треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме Пифагора

    \[ AB^2 = AF^2 + BF^2 , \]

    \[ CD^2 = CF^2 + DF^2 , \]

    \[ AD^2 = AF^2 + DF^2 , \]

    \[ BC^2 = BF^2 + CF^2 . \]

Сложив почленно 1-е и 2-е равенства, получим

    \[ + \frac{\begin{array}{l} AB^2 = AF^2 + BF^2 \\ CD^2 = CF^2 + DF^2 \\ \end{array}}{{AB^2 + CD^2 = AF^2 + BF^2 + CF^2 + DF^2 }}, \]

    \[ AB^2 + CD^2 = (AF^2 + DF^2 ) + (BF^2 + CF^2 ) = AD^2 + BC^2 . \]

Что и требовалось доказать.

Утверждение 2

Если суммы квадратов противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

(Чертеж — тот же).

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

AB²+CD²=AD²+BC²

Доказать: AC⊥BD

Доказательство:

Пусть ∠AFB=α.

∠AFB+∠BFC=180° (как смежные).

∠CFD=∠AFB=α, ∠AFD=∠BFC=180°-α (как вертикальные).

cos∠BFC=cos∠AFD=cos (180°-α)= -cosα.

Из треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме косинусов

    \[ AB^2 = AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha , \]

    \[ CD^2 = CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha , \]

    \[ AD^2 = AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha , \]

    \[ BC^2 = BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha . \]

Так как AB²+CD²=AD²+BC² (по условию), то

    \[ AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha + \]

    \[ + CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha = \]

    \[ = AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + \]

    \[ + BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha , \]

откуда

    \[ - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha = \]

    \[ = 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha , \]

    \[ AB \cdot BF \cdot \cos \alpha + CF \cdot DF \cdot \cos \alpha + \]

    \[ + AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + BF \cdot CF \cdot \cos \alpha = 0, \]

    \[ \cos \alpha (AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF) = 0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равняется нулю.

    \[ AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF \ne 0 \]

(как сумма положительных слагаемых), следовательно cosα=0.

Значит α=90°, то есть AC⊥BD.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий