Теорема косинусов: формулы

Теорема косинусов может быть применена к любой из сторон треугольника.

Запишем формулы для каждой из сторон и выясним, как применять теорему косинусов в зависимости от условия задачи.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

teorema kosinusov formulyi

 

Для треугольника ABC

теорема косинусов

может быть записана

в одной из трех вариаций:

    \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\]

    \[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos \angle C\]

    \[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B\]

Обозначив

    \[AB = c,AC = b,BC = a,\]

    \[\angle A = \alpha ,\angle B = \beta ,\angle C = \gamma ,\]

получим следующие три формулы теоремы косинусов:

    \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \]

    \[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \beta \]

    \[{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \gamma \]

К какой стороне треугольника применить теорему косинусов?

Теорему косинусов применяют к той стороне, напротив которой определен угол (то есть, он либо известен, либо как раз его надо найти).

Далее рассмотрим применение теоремы косинусов при решении задач.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>