Теорема косинусов |

Теорема косинусов

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

teorema kosinusov

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$

Доказательство:

teorema kosinusov treugolnika

I. Если треугольник ABC — остроугольный.

1) Опустим перпендикуляр CD на сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

$C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}.$

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

$AD = AC \cdot \cos \angle A,$

следовательно,

$C{D^2} = A{C^2} - {(AC \cdot \cos \angle A)^2}.$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

$BD = AB - AD = AB - AC \cdot \cos \angle A.$

По теореме Пифагора

$B{C^2} = B{D^2} + C{D^2}$

$B{C^2} = {(AB - AC \cdot \cos \angle A)^2} +$

$+ A{C^2} - {(AC \cdot \cos \angle A)^2}$

Упрощаем

$B{C^2} = A{B^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A +$

$+ {(AC \cdot \cos \angle A)^2} + A{C^2} - {(AC\cdot\cos \angle A)^2}$

Откуда

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A.$

teorema kosinusov dlya treugolnika

II. Если треугольник ABC — тупоугольный.

1) Опускаем перпендикуляр CD на прямую, содержащую сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

$C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}$

По определению косинуса,

$AD = AC \cdot \cos \angle CAD$

Так как углы A и CAD — смежные, то ∠CAD=180º-∠A. По формуле приведения

$\cos ({180^o} - \angle A) = - \cos \angle A.$

$C{D^2} = A{C^2} - {( - AC\cos \angle A)^2}$

$C{D^2} = A{C^2} - {(AC\cos \angle A)^2}.$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

$BD = AB + AD = AB + ( - AC \cdot \cos \angle A) =$

$BD = AB - AC \cdot \cos \angle A.$

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный, где ∠A=90º, получаем теорему Пифагора (cos90º=0).

One Comment

Ронин:

08.05.2023 в 10:57

отличное объяснение. спасибо большое, наглядно и обобщенно.

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ