Теорема косинусов

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

teorema kosinusov

 

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

 

    \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\]

Доказательство:

teorema kosinusov treugolnika

 

I. Если треугольник ABC — остроугольный.

1) Опустим перпендикуляр CD на сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

    \[C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}.\]

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

    \[AD = AC \cdot \cos \angle A,\]

следовательно,

    \[C{D^2} = A{C^2} - {(AC \cdot \cos \angle A)^2}.\]

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

    \[BD = AB - AD = AB - AC \cdot \cos \angle A.\]

По теореме Пифагора

    \[B{C^2} = B{D^2} + C{D^2}\]

    \[B{C^2} = {(AB - AC \cdot \cos \angle A)^2} + \]

    \[ + A{C^2} - {(AC \cdot \cos \angle A)^2}\]

Упрощаем

    \[B{C^2} = A{B^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A + \]

    \[ + {(AC \cdot \cos \angle A)^2} + A{C^2} - {(AC\cdot\cos \angle A)^2}\]

Откуда

    \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A.\]

 

teorema kosinusov dlya treugolnika

 II. Если треугольник ABC — тупоугольный.

1) Опускаем перпендикуляр CD на прямую, содержащую сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

    \[C{D^2} = A{C^2} - A{D^2}\]

По определению косинуса,

    \[AD = AC \cdot \cos \angle CAD\]

Так как углы A и CAD — смежные, то ∠CAD=180º-∠A. По формуле приведения

    \[\cos ({180^o} - \angle A) =  - \cos \angle A.\]

    \[C{D^2} = A{C^2} - {( - AC\cos \angle A)^2}\]

    \[C{D^2} = A{C^2} - {(AC\cos \angle A)^2}.\]

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

    \[BD = AB + AD = AB + ( - AC \cdot \cos \angle A) = \]

    \[BD = AB - AC \cdot \cos \angle A.\]

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный, где ∠A=90º, получаем теорему Пифагора (cos90º=0).

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>