Теорема Пифагора

Теорема Пифагора в геометрии важна не меньше, чем таблица умножения в арифметике. Решение многих геометрических задач (как в планиметрии, так и в стереометрии), сводится к рассмотрению прямоугольных треугольников и применению этой замечательной теоремы.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Существует множество разнообразных способов доказательства теоремы Пифагора. Ограничимся лишь одним из них.

teorema-pifagoraДано: ∆ ABC, ∠C=90º.

Доказать:

    \[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}.\]

Доказательство:

teorema-pifagora-dokazatelstvo

Пусть BC=a, AC=b, AB=c.

На гипотенузе AB построим квадрат со стороной c.

 

 

teorema-pifagora-formulaНа продолжении стороны AC отложим отрезок AF, AF=a,

на продолжении стороны BC — отрезок BK, BK=b.

CF=AF+AC=a+b, CK=BC+BK=a+b, то есть CF=CK=a+b.

Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам:

    \[FP\parallel CK,KP\parallel CF.\]

Четырёхугольник CFPK — параллелограмм (по определению).

А так как ∠C=90º и CF=CK, то CFPK — квадрат со стороной a+b.

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то

    \[{S_{CFPK}} = {(a + b)^2}.\]

С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c.

Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов:

    \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AC = \frac{1}{2}ab,\]

площадь квадрата со стороной c равна c².

Следовательно,

    \[{S_{CFPK}} = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + {c^2} = 2ab + {c^2}.\]

Приравняем правые части формул площади CFPK:

    \[2ab + {c^2} = {(a + b)^2}\]

Имеем:

    \[2ab + {c^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]

После упрощения получаем

    \[{c^2} = {a^2} + {b^2},\]

то есть,

    \[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}.\]

Что и требовалось доказать.

Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты чаще всего обозначаются как a и b , а гипотенуза — как c, то формула теоремы Пифагора обычно записывается именно так:

    \[{c^2} = {a^2} + {b^2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>