Симметрия окружности

Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?

Утверждение

simmetriya-okruzhnostiОкружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.

 

Доказательство:

os-simmetrii-okruzhnostiПроведём произвольный диаметр AB окружности.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.

Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.

Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.

Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.

Что и требовалось доказать.

Утверждение

Окружность — центрально-симметричная фигура.

Осью симметрии окружности является её центр.

Доказательство:

centr-simmetrii-okruzhnostiОтметим на окружности произвольную точку X.

Проведем через точку X диаметр XX1.

XO=X1O (как радиусы).

Следовательно, точки X и X1 симметричны относительно точки O.

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>