Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?
Утверждение
Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.
Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.
Доказательство:
Проведём произвольный диаметр AB окружности.
Отметим на окружности произвольную точку X.
Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.
Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.
Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.
Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.
Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.
Что и требовалось доказать.
Утверждение
Окружность — центрально-симметричная фигура.
Осью симметрии окружности является её центр.
Доказательство:
Отметим на окружности произвольную точку X.
Проведем через точку X диаметр XX1.
XO=X1O (как радиусы).
Следовательно, точки X и X1 симметричны относительно точки O.
Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.
Что и требовалось доказать.