Симметрия в равнобедренном треугольнике

Есть ли симметрия в равнобедренном треугольнике? Сколько осей симметрии имеет равнобедренный треугольник? Есть ли в у равнобедренного треугольника центр симметрии?

Утверждение

simmetriya-v-ravnobedrennom-treugolnikeРавнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии.

Осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, перпендикулярная основанию и проходящая через его середину.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.

simmetriya-ravnobedrennogo-treugolnikaЧерез середину основания — точку F- проведём прямую BF,

    \[CF \bot AB.\]

В треугольнике ABC BF — высота и биссектриса, проведённые к основанию. По свойству равнобедренного треугольника BF является также его биссектрисой.

Отметим на стороне AB произвольную точку X.

Проведём из точки X прямую XX1, перпендикулярную BF,

    \[X{X_1} \cap BF = K,X{X_1} \cap BC = {X_1}.\]

Рассмотрим прямоугольные треугольники XBK и X1BK.

1) BK — общий катет.

2) ∠XBK=∠X1BK (так как BF — биссектриса ∠ABC).

Следовательно, треугольники XBK и X1BK равны (по катету и острому углу).

Отсюда, XK=X1K.

Значит, точки X и X1 симметричны относительно прямой BF.

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке равнобедренного треугольника относительно прямой BF, также принадлежит этому треугольнику.

Точки B и F симметричны относительно прямой BF сами себе.

Следовательно, прямая прямая BF является осью симметрии треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

Центра симметрии равнобедренный треугольник не имеет.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>