Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с  начала 8 класса.

Теорема

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

svojstvo-median-treugolnikaДано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Доказать:

    \[A{A_1} \cap B{B_1} = O,A{A_1} \cap C{C_1} = O;\]

    \[AO:O{A_1} = BO:O{B_1} = CO:O{C_1} = 2:1.\]

Доказательство:

 

tochka-peresecheniya-median 1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и

    \[MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB.\]

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

    \[{A_1}{B_1}\parallel AB,{A_1}{B_1} = \frac{1}{2}AB.\]

4) Имеем:

    \[\left. \begin{array}{l} MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB\\ {A_1}{B_1}\parallel AB,{A_1}{B_1} = \frac{1}{2}AB \end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel {A_1}{B_1},MN = {A_1}{B_1}\]

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

    \[ON = O{B_1},OM = O{A_1}.\]

Таким образом,

    \[\left. \begin{array}{l} AM = OM,BN = ON\\ ON = O{B_1},OM = O{A_1} \end{array} \right\} \Rightarrow \]

    \[AM = OM = O{A_1}\]

    \[BN = ON = O{B_1},\]

из чего следует, что

    \[AO:O{A_1} = BO:O{B_1} = 2:1.\]

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

    \[AO:O{A_1} = BO:O{B_1} = CO:O{C_1} = 2:1.\]

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Blueberry 20.09.2018 18:49 Ответить

    Промогите пожалуйста:
    В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

    • admin 24.09.2018 21:38 Ответить

      Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
      Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
      (Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
      x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

Добавить комментарий