Теорема (2-й признак параллелограмма).
Если две стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — четырехугольник,
AD=BC, AD ∥ BC.
Доказать: ABCD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)
1) AD=BC (по условию)
2) сторона AC — общая
3)∠CAD=∠ACB (как внутренние накрест лежащие углы при AD ∥ BC и секущей AC)
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ACD=∠CAB.
А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то эти прямые параллельны:
AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).
4. В четырехугольнике ABCD:
1) AD ∥ BC (по условию)
2) AB ∥ CD (по доказанному).
Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).
Что и требовалось доказать.