Средняя линия треугольника

Что такое средняя линия треугольника?

Каковы свойства средней линии треугольника?

Сколько средних линий в треугольнике?

Определение.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

srednyaya liniya treugolnika M — середина AB,

N — середина BC.

MN — средняя линия треугольника ABC.

 

Поскольку в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии.

srednie linii treugolnika

 

MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.

 

 

Теорема (Свойства средней линии треугольника).

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

    \[1)MN\parallel AC;\]

    \[2)MN = \frac{1}{2}AC.\]

Задача.

Стороны треугольника равны a, b, c. Найти стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

srednyaya liniya treugolnika, zadacha    Дано: ∆ ABC, AB=c, BC=a, AC=b,

M — середина AB, N — середина BC,

P — середина AC.

Найти: MN, PN, MP, P(∆ ABC).

Решение:

Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MN, PN и MP- средние линии этого треугольника (по определению).

По свойству средней линии треугольника

    \[MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}b,\]

    \[MP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a,\]

    \[PN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}c.\]

Периметр треугольника MNP

    \[{P_{\Delta MNP}} = MN + MP + PN\]

    \[{P_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c = \frac{1}{2}(a + b + c).\]

Заметим, что

    \[{P_{\Delta ABC}} = BC + AC + AB = a + b + c,\]

откуда

    \[{P_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}{P_{\Delta ABC}},\]

то есть периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника.

 

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>