На стороне ромба построен равносторонний треугольник

Задача

На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Решение:

I способ

na-storone-romba-postroen-ravnostoronnij-treugolnikПусть ABCD — ромб, треугольник BCF — равносторонний, M — середина FC, O — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, ∠OMC=70°.

В треугольнике BMF проведём  медиану BM. По свойству равностороннего треугольника BM является также его высотой, то есть BM ⊥ FC.

∠BMO=∠BMC-∠OMC=90-70=20°

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то ∠BOC=90°.

В четырёхугольнике BMCO ∠BOC=90° и ∠BMC=90°.

Отсюда ∠BOC+∠BMC=180°. Следовательно, около BMCO можно описать окружность.

Поэтому ∠BCO=∠BMO=20° (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу OB).

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, ∠BCD=2∠BCO=40°.

Если точка M — середина BC, то FM⊥BC и ∠OMC=∠BOF=90° (как вертикальные). Это случай не соответствует условию.

Ответ: 40°.

II способ

na-storone-romba-ravnostoronnij-treugolnikТочка M — середина отрезка FC по условию. Точка O — середина AC по свойству ромба. Следовательно, OM — средняя линия треугольника ACF.

По свойству средней линии треугольника MO || AF.

∠AFC=∠OMC=70° (как соответственные при MO || AF и секущей FC).

∠BFC=∠FCB=60° (как углы равностороннего треугольника).

∠AFB=∠AFC-∠BFC=70-60=10°.

∠BAF=∠AFB=10° (как углы при основании равнобедренного треугольника ABF).

По свойствам ромба ∠BAC=∠BCA=x°.

Из треугольника AFC по теореме о сумме углов треугольника

∠AFC+∠FCA+∠FAC=180°,

70+60+x+x+10=180,

2x=40,

x=20.

Таким образом, ∠BCA=20°, ∠BCD=40°.

 

3 Comments

  1. Наталия 20.01.2020 14:00 Ответить

    Вижу, мои комменты пригодились для второго способа решения?

  2. Наталия 20.01.2020 14:01 Ответить

    Хотя и не получила ответного комментария!

    • admin 20.01.2020 18:06 Ответить

      «Наталия, углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ» — комментарий был добавлен к посту, в котором Вы задавали вопрос (в свойстве медиан).

Добавить комментарий