На стороне ромба построен равносторонний треугольник

Задача

На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Решение:

na-storone-romba-postroen-ravnostoronnij-treugolnikПусть ABCD — ромб, треугольник BCF — равносторонний, M — середина FC, O — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, ∠OMC=70°.

В треугольнике BMF проведём  медиану BM. По свойству равностороннего треугольника BM является также его высотой, то есть BM ⊥ FC.

∠BMO=∠BMC-∠OMC=90-70=20°

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то ∠BOC=90°.

В четырёхугольнике BMCO ∠BOC=90° и ∠BMC=90°.

Отсюда ∠BOC+∠BMC=180°. Следовательно, около BMCO можно описать окружность.

Поэтому ∠BCO=∠BMO=20° (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу OB).

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, ∠BCD=2∠BCO=40°.

Если точка M — середина BC, то FM⊥BC и ∠OMC=BOF=90° (как вертикальные). Это случай не соответствует условию.

Ответ: 40°.

Добавить комментарий