Диагонали ромба

Поскольку ромб является одним из видов параллелограмма, то диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Кроме этого, диагонали ромба обладают другими свойствами.

Теорема.

(Свойство диагоналей ромба)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

svoystva diagonaley romba

 

Дано:

ABCD — ромб,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

    \[AC \bot BD,\]

AC и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC.

diagonali romba

 

AB=BC (по определению ромба).

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то AO=OC.

Значит, BO — медиана треугольника ABC (по определению медианы).

Следовательно, BO — высота и биссектриса треугольника ABC (по свойству равнобедренного треугольника).

То есть,

    \[AC \bot BD,\]

BD — биссектриса углов ABC (и ADC).

diagonali romba perpendikulyarnyi

 

Из треугольника ABD аналогично доказывается, что AC — биссектриса углов BAD и BCD.

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Justifier 10.10.2020 22:17 Ответить

    А оно надо так стараться?
    Все маленькие треугольники равны по трем сторонам, следовательно углы посередине равны, получаем
    4x = 360
    x = 90
    И про биссектрисы теорема сразу следует из равенства углов

    • admin 11.10.2020 00:40 Ответить

      Justifier, стараться надо всегда) Ваше доказательство вполне рабочее. Только надо каждый шаг обосновать. По длине окажется не короче приведенного выше. Геометрия тем и хороша, что доказать утверждение можно разными способами. Доказали по-своему — отлично!

Добавить комментарий