Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

svojstva-ravnostoronnego-treugolnika

 

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

 

svojstva-mediany-vysoty-bissektrisy-ravnostoronnego-treugolnika2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Если a — сторона треугольника, то

    \[AK = BF = CD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.

radius-opisannoj-okruzhnosti-ravnostoronnego-treugolnika

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

BO=R,

    \[R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

или

    \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

 

radius-vpisannoj-okruzhnosti-ravnostoronnego-treugolnika

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

OF=r,

    \[r = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\]

или

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

R=2r.

9) Площадь равностороннего треугольника равна

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},\]

периметр

    \[P = 3a.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>