Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

    \[AK \cap BF = O,\]

    \[AK \cap CD = O.\]

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

    \[OF = \frac{1}{3}BF,\]

    \[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

    \[a = \frac{{6r}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt {3 \cdot } \sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{3} = 2r\sqrt 3 .\]

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},\]

можем найти площадь через r:

    \[S = \frac{{{{(2r\sqrt 3 )}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{r^2} \cdot 3 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

    \[S = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

    \[AD = BD = BK = CK = CF = AF = \frac{a}{2}.\]

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

    \[OF = r,BO = R,\]

    \[\left. \begin{array}{l} OF = r,BO = R\\ OF = \frac{1}{3}BF,BO = \frac{2}{3}BF \end{array} \right\} \Rightarrow r = \frac{1}{2}R.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>