Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

okruzhnost-opisannaya-okolo-pravilnogo-treugolnikaНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

    \[AK \cap BF = O,\]

    \[AK \cap CD = O.\]

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

    \[BO = \frac{2}{3}BF,\]

    \[R = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности

    \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

    \[a = \frac{{3R}}{{\sqrt 3 }} = R\sqrt 3 .\]

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(R\sqrt 3 )}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{R^2} \cdot 3 \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 R}}{4}.\]

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

    \[S = \frac{{3\sqrt 3 R}}{4}.\]

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    \[\left. \begin{array}{l} BO = R,OF = r\\ BO = \frac{2}{3}BF,OF = \frac{1}{3}BF \end{array} \right\} \Rightarrow R = 2r.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>