Медиана равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его  биссектрисой и высотой.

Доказательство:

mediana-ravnostoronnego-treugolnikaПусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

mediana-ravnostoronnego-treugolnika-yavlyaetsyaАналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

mediany-ravnostoronnego-treugolnika-ravny Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Тогда AF=FC=BK=CK=AD=BD.

vse-mediany-ravnostoronnego-treugolnika-ravny

∠BAF=∠BFC=∠ABC (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

mediana-ravnostoronnego-treugolnika-cherez-storonuТак как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a,  BF=m, тогда AF=a/2.

По теореме Пифагора

    \[m = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}}  = \sqrt {\frac{{4{a^2} - {a^2}}}{4}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

    \[m = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

mediana-ravnostoronnego-treugolnika-cherez-radiusТак как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:

OF=r, BO=R.

Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,

    \[OF = \frac{1}{3}BF,BO = \frac{2}{3}BF,\]

    \[ \Rightarrow BF = 3 \cdot OF;BF = \frac{3}{2} \cdot BO.\]

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

    \[m = 3r,\]

через радиус описанной окружности —

    \[m = \frac{{3R}}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>