Медиана равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его  биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Тогда AF=FC=BK=CK=AD=BD.

∠BAF=∠BFC=∠ABC (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a,  BF=m, тогда AF=a/2.

По теореме Пифагора

   

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

   

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:

OF=r, BO=R.

Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,

   

   

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

   

через радиус описанной окружности —