Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника)

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

svoystvo medianyi ravnobedrennogo treugolnika

 

Дано:

∆ ABC,

AC=BC,

CF — медиана.

 Доказать: CF — биссектриса и высота.

 Доказательство:

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

mediana k osnovaniyu ravnobedrennogo treugolnika

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника ))

2) AF=BF (так как CF — медиана по условию)

3) CAF=CBF (как углы при основании равнобедренного треугольника).

 

Следовательно, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.

Значит,

1) ACF=BCF. Отсюда, CF — биссектриса треугольника ABC.

2) AFC=BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: AFC=BFC=90º.

Значит, CF — высота треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

2 Comments

  1. Ирка Хортица 22.11.2014 21:17 Ответить

    очень помогло спасибо

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>