Высота равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство высоты равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.

vysota-ravnostoronnego-treugolnika Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

Проведём высоту BF.

kak-nahodit-vysotu-ravnostoronnego-treugolnika По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и биссектрисой

(то есть, AF=FC, ∠ABF=∠CBF).

vysota-ravnostoronnego-treugolnika-ravna Аналогично, рассмотрев треугольник ABC как равнобедренный с основанием BC и треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, доказываем, что высоты AK и CD являются также его медианами и биссектрисами

(то есть, BK=KC, ∠BAK=∠CAK; AD=BD, ∠ACD=∠BCD).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство высот равностороннего треугольника)
Все три высоты равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

vysoty-ravnostoronnego-treugolnika-ravny

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF и CD — его высоты.

В прямоугольных треугольниках ABF, BCD и CAK:

гипотенузы AB, BC и CA равны по условию,

∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника).

svojstvo-vysot-ravnostoronnego-treugolnika Следовательно, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=CD=AK.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы равны между собой.

1) Найдём высоту равностороннего треугольника через его сторону.

najti-vysotu-ravnostoronnego-treugolnika

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — высота, BF=h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.

По определению синуса,

$\sin \angle A = \frac{{BF}}{{AB}}, \Rightarrow BF = AB \cdot \sin \angle A,$

$BF = AB \cdot \sin {60^o} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}.$

Отсюда формула высоты равностороннего треугольника через его сторону:

$h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

(2-й способ: из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

$BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}} = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}} = \sqrt {\frac{{4{a^2} - {a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}).$

2) Выразим высоту равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Точка O — центр правильного треугольника — является также центром его вписанной и описанной окружностей. Как центр вписанной окружности O — точка пересечения биссектрис треугольника. В правильном треугольнике биссектрисы и медианы совпадают. Следовательно, также является O точкой пересечения медиан.

vysota-ravnostoronnego-treugolnika-cherez-radius А так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то BO:OF=2:1, то есть