Биссектриса равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

bissektrisa-ravnostoronnego-treugolnikaПусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD  — еще и медианы и высоты.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

bissektrisy-ravnostoronnego-treugolnikaПусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

  • AB=BC=CA (по условию)
  • ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника)
  • ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Значит, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

bissektrisy-ravnostoronnego-treugolnika-ravnaВ треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — биссектриса, BF=l.

По свойствам равностороннего треугольника,  BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

    \[\sin \angle A = \frac{{BF}}{{AB}}, \Rightarrow BF = AB \cdot \sin \angle A,\]

    \[BF = AB \cdot \sin {60^o} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}.\]

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

    \[l = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

bissektrisy-ravnostoronnego-treugolnika-cherez-radiusВ правильном треугольнике ABC центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

Отсюда,

    \[OF = \frac{1}{3}BF,BO = \frac{2}{3}BF,\]

    \[ \Rightarrow BF = 3 \cdot OF;BF = \frac{3}{2} \cdot BO.\]

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

    \[l = 3r,\]

через радиус описанной окружности —

    \[l = \frac{{3R}}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>