Сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника |

Если известна сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника, то что можно сказать об этой величине?

Утверждение

Сумма расстояний от произвольной внутренней точки до вершин треугольника больше полупериметра этого треугольника.

summa-rasstoyanij-ot-vnutrennej-tochki-do-vershin-treugolnika Дано: ∆ ABC,

F — внутренняя точка треугольника ABC,

$p = \frac{{AB + BC + AC}}{2}$

Доказать: AF+BF+CF>p.

Доказательство:

Из треугольника ABF согласно неравенству треугольника

$AF + BF > AB$

Аналогично, из треугольника ACF:

$AF + CF > AC$

из треугольника BCF:

$BF + CF > BC$

Сложим почленно все три неравенства:

$\underline { + \left\{ \begin{array}{l} AF + BF > AB\\ AF + CF > AC\\ BF + CF > BC \end{array} \right.}$

$AF + BF + AF + CF + BF + CF > AB + AC + BC$

$2(AF + BF + CF) > AB + AC + BC$

Разделим обе части неравенства на 2:

$AF + BF + CF > \frac{{AB + AC + BC}}{2},$

то есть

$AF + BF + CF > p.$

Что и требовалось доказать.

Сумма расстояний от внутренней точки до вершин треугольника