Какие углы вертикальные? Каким свойством обладают вертикальные углы?
Рассмотрим определение вертикальных углов и их свойство, а также применим свойство вертикальных углов для решения задач.
Определение.
Вертикальные углы — это углы с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов:
∠1 и ∠2 — вертикальные углы
∠3 и ∠4 — вертикальные углы
Теорема (Свойство вертикальных углов).
Вертикальные углы равны.
Дано:
∠AOC и ∠BOD — вертикальные
Доказать:
∠AOC =∠BOD
Доказательство:
∠AOC и ∠AOD — смежные,
∠AOD и ∠BOD — смежные.
Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠AOC + ∠AOD=180°
∠AOD + ∠BOD=180°.
Отсюда
∠AOC=180° -∠AOD
∠BOD=180°-∠AOD.
Правые части равенств равны, значит левые части тоже равны:
∠AOC =∠BOD.
Что и требовалось доказать.
∠AOD =∠BOC
Таким образом, при пересечении двух прямых образуется две пары равных межу собой углов.
Задачи.
1) Сумма вертикальных углов равна 140º. Найти эти углы.
Решение:
Так как вертикальные углы равны, а в условии сказано, что их сумма равна 140º, то каждый из них равен по 140:2=70º.
Ответ: 70º, 70º.
2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 100º. Найти эти углы.
Решение:
При пересечении двух прямых образуются углы двух видов — вертикальные и смежные.
Так как сумма смежных углов равна 180º, а по условию, сумма углов равна 100º, то эти углы — вертикальные.
А так как вертикальные углы равны, то каждый из них равен по 100:2=50º.
Ответ: 50º, 50º.
Вертикальные углы во многих задачах — важный элемент при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.