Смежные углы

Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

Определение.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

 

∠1 и ∠2 — смежные углы

 

∠AOC и ∠BOC — смежные,

у них сторона OC — общая,

стороны OA и OB  лежат на одной прямой.

 

Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

∠1 и ∠2,

∠3 и ∠4,

∠1 и ∠3,

∠2 и ∠4

Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

 

Теорема (Свойство смежных углов).

Сумма смежных углов равна 180º.

Дано: ∠AOC и ∠BOC — смежные

Доказать:∠AOC +∠BOC=180°

Доказательство:

Стороны OA угла AOC и сторона OB угла BOC лежат на одной прямой, поэтому угол AOB — развёрнутый.

Градусная мера развёрнутого угла равна 180°: ∠AOB=180°.

Луч OC делит развёрнутый угол AOB на два угла.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Следовательно, ∠AOC +∠BOC=180°.

Что и требовалось доказать.

 

Задачи.

1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

Дано:

∠AOC и ∠BOC — смежные,

∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC

Найти: ∠AOC и ∠BOC.

Решение:

Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

Имеем уравнение:

х+х+42=180

2х=180-42

2x=138

x=69

Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

Ответ: 69º и 111º.

2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

Дано:

∠1 и ∠2 — смежные,

∠1 : ∠2= 4:5

Найти:∠1 и ∠2

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

Имеем уравнение:

4k+5k=180

9k=180

k=20

Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

Ответ: 80º и 100º.

3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD

Найти: ∠AOD, ∠BOD

Решение:

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

Имеем уравнение:

x+5x=180

6x=180

x=30

Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

Ответ: 30º и 150º.

• Могут ли смежные углы быть равными?

Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

Вывод:

угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

• Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

Выод:

Угол, смежный с тупым — острый.

Угол, смежный с острым — тупой.

• Если два угла равны, то что можно сказать о смежных с ними углах?

Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Дано: ∠1 и ∠2 — смежные,

∠3 и ∠4 — смежные,

∠1=∠3

Доказать: ∠2=∠4

Доказательство:

∠1+∠2=180° и ∠3 +∠4=180° (как смежные),

Отсюда ∠2=180°-∠1, ∠4=180°-∠3.

Так как ∠1=∠3, то и  180°-∠1=180°-∠3.

А значит, ∠2=∠4.

Что и требовалось доказать.