Свойства диагоналей параллелограмма

Рассмотрим два свойства диагоналей параллелограмма.

Теорема.

I свойство диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

svoystvo diagonaley parallelogramma  Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC ∩ BD=O.

Доказать:

AO=CO, BO=DO.

Доказательство:

svoystva diagonaley parallelogramma

 

Рассмотрим треугольники AOD и COB

(важно правильно назвать треугольники!)

 

1) ADO=CBO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD)

2) DAO=BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC)

3) AD=BC (как противолежащие стороны параллелограмма)

Следовательно, ∆AOD= ∆COB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AO=CO, BO=DO.

Что и требовалось доказать.

 

II свойство диагоналей параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Для параллелограмма ABCD:

AC²+BD²=2(AB²+AD²).

Это свойство является следствием из теоремы косинусов. Его доказательство рассмотрим позже.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>