Свойства сторон и углов параллелограмма

I. Теорема

(Свойства сторон и углов параллелограмма)

В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

storonyi parallelogramma

Дано:

ABCD — параллелограмм.

Доказать:

AB=CD, AD=BC,

A=C, B=D.

Доказательство:

Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.

svoystva storon i uglov parallelogramma

 

 

Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

(Важно правильно назвать треугольники!)

1) сторона BD — общая

2) ABD=CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)

3) ADB=CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)

Значит,  ∆ABD= ∆CDB (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AB=CD, AD=BC

и равенство соответствующих углов:

A=C.

В пунктах 2) и 3) обосновано, что ABD=CDB и ADB=CB.

Следовательно,

ABC=ABD+CBD=CDB+ADB=ADC,

то есть, B=D.

Что и требовалось доказать.

 

II. Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.

Для параллелограмма ABCD:

A+B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB;

C+D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD;

A+D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD;

B+C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>