Окружности касаются внешним образом

Задача

Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение:

Соединим центры окружностей — точки O1 и O2 — с точками A и C соответственно.

O1A⊥AC, O2C⊥AC (как радиус, проведённый в точку касания).

okruzhnosti-kasayutsya-vneshnim-obrazomОбозначим O1A=r, O2C=R.

Проведём перпендикуляр AF к прямой CD и перпендикуляр O1N к прямой CO2.

AF — искомое расстояние между прямыми AB и CD.

Четырёхугольник AO1NC — прямоугольник (так как у него три угла прямые).

Следовательно, AC=O1N, CN=O1A=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2N.

NO2=CO2-CN=R-r.

По теореме Пифагора

    \[ O_1 O_2^2 = O_1 N^2 + NO_2^2 , \Rightarrow O_1 N = \sqrt {O_1 O_2^2 - NO_2^2 } \]

O1O2= O1K+KO2=r+R,

    \[ O_1 N = \sqrt {(r + R)^2 - (R - r)^2 } = \]

    \[ = \sqrt {r^2 + + 2Rr + R^2 - R^2 + 2Rr - r^2 } = 2\sqrt {Rr} . \]

Продлим касательные AC и BD до пересечения в точке M. Проведём луч MO2.

Пусть MO2∩CD=P.

Окружности с центрами в точках O1 и O2 вписаны в угол CMD, значит MP — биссектриса угла CMD.

MC=MD (как отрезки касательных, проведённых из одной точки). Значит треугольник CMD — равнобедренный с основанием CD. Следовательно, биссектриса MP является также его высотой.

В прямоугольном треугольнике CMP ∠MCP=90°-∠CMP.

В прямоугольном треугольнике CMO2 ∠CO2M=90°-∠CMP.

Отсюда ∠MCP=∠CO2M. Следовательно, прямоугольные треугольники AFC и O1NO2 подобны (по острому углу).

Значит

    \[ \frac{{AF}}{{O_1 N}} = \frac{{AC}}{{O_1 O_2 }}, \Rightarrow AF = \frac{{O_1 N \cdot AC}}{{O_1 O_2 }} = \frac{{O_1 N^2 }}{{O_1 O_2 }} \]

    \[ AF = \frac{{(2\sqrt {Rr} )^2 }}{{r + R}} = \frac{{4Rr}}{{r + R}} \]

    \[ AF = \frac{{4 \cdot 77 \cdot 44}}{{44 + 77}} = \frac{{4 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 11}}{{11(4 + 7)}} = \frac{{4 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 11}}{{11 \cdot 11}} = 112. \]

Ответ: 112.

Добавить комментарий