Касательная к окружности

Что такое касательная к окружности? Каково взаимное расположение касательной и радиуса?

Определение.

 

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.

 

 

 

Теорема

(Свойство касательной к окружности).

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дано: окружность (O;R), R=OA,

a — касательная к окружности,

A — точка касания.

Доказать:

   

Доказательство:

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны.

Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB.

Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a.

По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB.

Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OB — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие точки.

Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания:

   

Что и требовалось доказать.