Касательная к окружности

Что такое касательная к окружности? Каково взаимное расположение касательной и радиуса?

Определение.

kasatelnaya k okruzhnosti

a — касательная,
A — точка касания

 

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.

 

 

 

Теорема

(Свойство касательной к окружности).

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

svoystvo kasatelnoy

Дано: окружность (O;R), R=OA,

a — касательная к окружности,

A — точка касания.

Доказать:

    \[a \bot OA\]

Доказательство:

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны.

radius okruzhnosti i kasatelnaya

Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB.

Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a.

По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB.

Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OA — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие точки.

Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания:

    \[a \bot OA.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>