Свойства перпендикуляра и наклонной

Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.

Свойства перпендикуляра и наклонной

1) Любая наклонная больше перпендикуляра.

svoystva perpendikulyara

рисунок 1

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC — наклонная.

Доказать: AC>AB.

 

Доказательство:

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².

Так как BC>0, то и BC²>0.

Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.

Что и требовалось доказать.

 

2) Равные наклонные имеют равные проекции.

svoystva perpendikulyara i naklonnoy

рисунок 2

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

AC=AD.

Доказать: BC=BD.

Доказательство:

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

1) AC=AD (по условию);

2)  AB — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.

Что и требовалось доказать.

 

И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.

Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.

 

3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

svoystva naklonnoy

рисунок 3

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

BC>BD.

Доказать: AC>AD.

Доказательство:

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².

Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².

Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².

Так как BC>BD, то и BC²>BD².

Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.

Что и требовалось доказать.

 

И обратно: большей наклонной соответствует большая проекция.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>