Отрезки касательных

Рассмотрим, какими свойствами обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

Теорема.

(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

otrezki kasatelnyih k okruzhnosti

AB=AC                       otrezki kasatelnyih∠BAO=∠CAO

 

svoystvo kasatelnyih k okruzhnosti

Дано: окружность (O;R),

AB и AC — касательные к окружности (O;R),

B, C — точки касания.

Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.

Доказательство:

    \[OB \bot AB,OC \bot AC\]

(как радиусы, проведенные в точку касания).

Следовательно, треугольники ABO и ACO — прямоугольные. У них

1) катеты OB=OC (как радиусы)

2) гипотенуза OA — общая сторона.

Значит, ∆ ABO=∆ ACO (по катету и гипотенузе).

svoystvo kasatelnyih

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AB=AC

и соответствующих углов:

∠BAO=∠CAO.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий