В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны

Задача

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.

Найти стороны треугольника ABC.

bissektrisa-i-mediana-perpendikulyarnyДано: ΔABC,

AD — медиана, BE — биссектриса,

AD=BE=8, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC

Решение:

1) Пусть AD∩BE=K.

Так как в треугольнике ABD BK — биссектриса и высота, то ΔABC — равнобедренный с основанием AD (по признаку равнобедренного треугольника). Значит, AB=BD. Следовательно, BC=2AB.

По свойству равнобедренного треугольника BK — медиана и AK=KD=4.

bissektrisa-perpendikulyarna-mediane3) По свойству биссектрисы треугольника в ΔABC

    \[ \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{2}{1}. \]

3) Проведём через точку A прямую, параллельную BC и продлим BE до пересечения с этой прямой в точке F.

Рассмотрим треугольники BEC и FEA.

∠AFB=∠CBF (как внутренние накрест лежащие при BC || AF и секущей BF).

∠BEC=∠FEA (как вертикальные).

Значит треугольники BEC и FEA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[ \frac{{BC}}{{FA}} = \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{BE}}{{FE}} = \frac{2}{1}. \]

    \[ \frac{{BC}}{{FA}} = \frac{2}{1}, \Rightarrow FA = \frac{1}{2}BC = AB. \]

Таким образом, треугольник ABF — равнобедренный с основанием BF, а значит, его высота AK является также медианой и BK=KF.

    \[ \frac{8}{{FE}} = \frac{2}{1}, \Rightarrow FE = 4, \]

BF=BE+FE=12, BK=KF=6.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора

    \[ AB^2 = BK^2 + AK^2 , \]

    \[ AB = \sqrt {6^2 + 4^2 } = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} , \]

    \[ BC = 2AB = 4\sqrt {13} . \]

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник AKE.

KE=BE-BK=8-6=2. По теореме Пифагора

    \[ AE^2 = AK^2 + KE^2 , \]

    \[ AE = \sqrt {4^2 + 2^2 } = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 , \]

    \[ \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{2}{1}, \Rightarrow CE = 2AE, \]

    \[ AC = AE + CE = 3AE = 6\sqrt 5 . \]

Ответ:

    \[ 2\sqrt {13} ,4\sqrt {13} ,6\sqrt 5 . \]

II способ

mediana-i-bissektrisa-perpendikulyarny1) Пусть AD∩BE=K.

Так как в треугольнике ABD BK — биссектриса и высота, то ΔABC — равнобедренный с основанием AD (по признаку равнобедренного треугольника). Значит, AB=BD.

Следовательно, BC=2AB.

По свойству равнобедренного треугольника BK — медиана и AK=KD=4.

2) Отложим на луче BE с другой стороны от точки K отрезок KF, KF=BK.

Проведём отрезки DF и CF.

Четырёхугольники AFDB и AFCD — параллелограммы (по признаку параллелограмма). Тогда AF=BD, DF=AB, FC=AD (по свойству параллелограмма), а так как AB=BD, то ABCD — ромб.

AC∩DF=O. По свойству параллелограмма O — середина DF. Значит E — точка пересечения медиан треугольника AFD. По свойству медиан FE:EK=2:1. Следовательно

    \[ EK = \frac{1}{3}KF = \frac{1}{3}BK,\]

    \[ BE = BK + EK = BK + \frac{1}{3}BK = \frac{4}{3}BK = 8,\]

    \[ BK = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6.\]

3) Из треугольника ABK по теореме Пифагора

    \[ AB = \sqrt {BK^2 + AK^2 } = 2\sqrt {13} ,\]

    \[ BC = 2AB = 4\sqrt {13} .\]

4) Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, в параллелограмме AFCD

    \[ AC^2 + DF^2 = 2(AD^2 + AF^2 ),\]

    \[ AC^2 = 2AD^2 + 2AF^2 - DF^2 = \]

    \[ = 2AD^2 + AF^2 = 2 \cdot 8^2 + 52 = 180,\]

    \[ AC = \sqrt {180} = 6\sqrt 5 .\]

Добавить комментарий