Свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.

Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

    \[\frac{{AC}}{{CP}} = \frac{{AB}}{{BP}}\]

svoystvo bissektrisyi treugolnika Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.

Доказать:

    \[\frac{{AC}}{{CP}} = \frac{{AB}}{{BP}}\]

 

Доказательство:

svoystvo bissektrisyi treugolnika dokazatelstvo I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и

    \[\frac{{AC}}{{CP}} = \frac{{AB}}{{BP}}\]

II.Если АС≠АВ.

1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.

2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,

    \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{CF}}.\]

3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP  подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,

    \[\frac{{BN}}{{CF}} = \frac{{BP}}{{CP}}.\]

    \[4)\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{CF}}{\rm{ u }}\frac{{BN}}{{CF}} = \frac{{BP}}{{CP}},\]

    \[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{CP}}.\]

Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому

    \[\frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AC}}{{CP}}.\]

Что и требовалось доказать.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

    \[\frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AC}}{{CP}}.\]

    \[\frac{{12}}{{BP}} = \frac{{10}}{{CP}}.\]

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

    \[\frac{{12}}{{11 - x}} = \frac{{10}}{x},\]

откуда по основному свойству пропорции

    \[12x = 10(11 - x)\]

    \[22x = 110\]

    \[x = 5\]

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>