Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника

Чему равен угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника? Ответ не зависит от величины острых углов, поскольку является величиной постоянной.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника равна 180º. В прямоугольном треугольнике один угол — прямой, то есть его величина равна 90º. Значит, сумма оставшихся острых углов равна 90º.

ugol mezhdu bissektrisami treugolnika

Поскольку биссектрисы делят каждый из острых углов пополам, сумма углов, образованных при делении углов биссектрисами, равна половине суммы острых углов, то есть 45º.

Пусть AP и BF — биссектрисы острых углов A и В прямоугольного треугольника АВС, К — точка их пересечения. Тогда

    \[\angle BAP + \angle ABF = \]

 

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot {90^o} = {45^o}.\]

Рассмотрим треугольник АВК. Сумма его углов

    \[\angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = {180^o}\]

    \[\angle BAK + \angle ABK = \angle BAP + \angle ABF = {45^o}\]

    \[{45^o} + \angle AKB = {180^o}\]

    \[\angle AKB = {180^o} - {45^o} = {135^o}.\]

Таким образом, один из углов  между биссектрисами BF и AP равен 135º. Другой угол — смежный с данным. Так как сумма смежных углов равна 180º,

    \[\angle AKF = {180^o} - \angle AKB = {180^o} - {135^o} = {45^o}\]

Вывод:

Углы между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника не зависят от величин углов и равны 45º и 135º.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>