Первый признак подобия треугольников

Теорема

(Первый признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


pervyj-priznak-podobiyaДано: ΔABC, ΔA1B1C1,

∠A=∠A1, ∠B=∠B1,

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) По теореме о сумме углов треугольника

∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1).

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.

pervyj-priznak-podobiya-treugolnikov2) На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB.

3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1.

4) ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1).

Значит, ∠A1B2C2=∠B.

5) В треугольниках A1B2C2 и ABC:

  • ∠A1 =∠A,
  • ∠A1B2C2=∠B,
  • A1B2 =AB.

Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC.

6) По теореме о пропорциональных отрезках,

    \[\frac{{A_1 C_2 }}{{A_1 C_1 }} = \frac{{A_1 B_2 }}{{A_1 B_1 }}.\]

Так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то

    \[\frac{{AC}}{{A_1 C_1 }} = \frac{{AB}}{{A_1 B_1 }}.\]

7) Аналогично доказывается, что

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }}.\]

8) Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1:

∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1,

    \[\frac{{AB}}{{A_1 B_1 }} = \frac{{BC}}{{B_1 C_1 }} = \frac{{AC}}{{A_1 C_1 }}.\]

Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников).

Что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

Добавить комментарий