Формула площади четырехугольника

Утверждение.

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

    \[S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin \varphi \]

(d1, d2 — диагонали четырёхугольника, φ — угол между ними).

formula-ploshchadi-chetyrekhugolnikaДано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

AC∩BD=O, AC=d1, BD=d2, ∠AOB=φ

Доказать:

    \[S_{ABCD} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin \varphi \]

Доказательство:

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD делят его на 4 треугольника.

Площадь каждого из треугольников равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

    \[S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \angle AOB;\]

    \[S_{\Delta BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \angle BOC;\]

    \[S_{\Delta COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \angle COD;\]

    \[S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin \angle AOD.\]

∠BOC=180°-∠AOB=180°-φ (как смежные).

∠COD=∠AOB=φ,

∠AOD=∠BOC=180°-φ (как вертикальные).

sin (180°-φ)=sin φ.

Отсюда

    \[S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \varphi ;\]

    \[S_{\Delta BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \varphi ;\]

    \[S_{\Delta COD} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \varphi ;\]

    \[S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot DO \cdot \sin \varphi .\]

Таким образом,

    \[S_{ABCD} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta BOC} + S_{\Delta COD} + S_{\Delta AOD} = \]

    \[= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + AO \cdot DO) = \]

    \[= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi ((AO \cdot BO + BO \cdot CO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO)) = \]

    \[= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (BO(AO + CO) + DO(CO + AO)) = \]

    \[= \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi (AO + CO)(BO + DO) = \frac{1}{2} \cdot \sin \varphi \cdot AC \cdot BD = \]

    \[= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \varphi .\]

Что и требовалось доказать.

One Comment

  1. gammaeule 19.03.2018 20:58 Ответить

    Спасибо всем!

Добавить комментарий