Формула расстояния от точки до прямой

Формула расстояния d от точки M(xo;yo) до прямой ax+by+c=0:

    \[d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\]

Доказательство:

Пусть N(x1;y1) — основание перпендикуляра, опущенного из точки M(xo;yo) на прямую ax+by+c=0.

Найдём угловой коэффициент прямой ax+by+c=0:

    \[by = - ax - c, \Rightarrow y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \Rightarrow k = - \frac{a}{b}.\]

Из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент прямой MN

    \[k_{MN} = - \frac{1}{k} = - \frac{1}{{ - \frac{a}{b}}} = \frac{b}{a},\]

то есть уравнение прямой MN имеет вид

    \[y = \frac{b}{a}x + b_{MN} .\]

Так как точка M(xo;yo) принадлежит этой прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению:

    \[y_o = \frac{b}{a}x_o + b_{MN} , \Rightarrow b_{MN} = y_o - \frac{b}{a}x_o ,\]

    \[y = \frac{b}{a}x + y_o - \frac{b}{a}x_o .\]

Так как N(x1;y1) принадлежит этой прямой, то её координаты также удовлетворяют этому уравнению:

    \[y_1 = \frac{b}{a}x_1 + y_o - \frac{b}{a}x_o .\]

Отсюда

    \[y_1 - y_o = \frac{b}{a}(x_1 - x_o ), \Rightarrow \frac{{y_1 - y_o }}{b} = \frac{{x_1 - x_o }}{a}.\]

Обозначим

    \[\frac{{y_1 - y_o }}{b} = \frac{{x_1 - x_o }}{a} = q,\]

тогда

    \[y_1 - y_o = bq,x_1 - x_o = aq.\]

По формуле расстояния между точками

    \[d = MN = \sqrt {(x_1 - x_o )^2 + (y_1 - y_o )^2 } .\]

Таким образом,

    \[d = \sqrt {(aq)^2 + (bq)^2 } = \sqrt {q^2 (a^2 + b^2 )} = \left| q \right|\sqrt {a^2 + b^2 } .\]

    \[y_1 - y_o = bq,x_1 - x_o = aq, \Rightarrow y_1 = bq + y_o ,x_1 = aq + x_o .\]

Подставим x1 и y1 в уравнение ax+by+c=0:

    \[a(aq + x_o ) + b(bq + y_o ) + c = 0,\]

откуда

    \[a^2 q + ax_o + b^2 q + by_o + c = 0,\]

    \[q(a^2 + b^2 ) = - (ax_o + by_o + c),\]

    \[q = - \frac{{ax_o + by_o + c}}{{a^2 + b^2 }}.\]

Подставим найденное значение q в равенство

    \[d = \left| q \right|\sqrt {a^2 + b^2 } \]

    \[d = \left| { - \frac{{ax_o + by_o + c}}{{a^2 + b^2 }}} \right|\sqrt {a^2 + b^2 } ,\]

и после сокращения — окончательный вариант:

    \[d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}.\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий