Формула расстояния от точки до прямой

Формула расстояния от точки до прямой

Mar.4,2018

Формула расстояния d от точки M(x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0:

$d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}$

Доказательство:

Пусть N(x₁;y₁) — основание перпендикуляра, опущенного из точки M(x_o;y_o) на прямую ax+by+c=0.

Найдём угловой коэффициент прямой ax+by+c=0:

$by = - ax - c, \Rightarrow y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \Rightarrow k = - \frac{a}{b}.$

Из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент прямой MN

$k_{MN} = - \frac{1}{k} = - \frac{1}{{ - \frac{a}{b}}} = \frac{b}{a},$

то есть уравнение прямой MN имеет вид

$y = \frac{b}{a}x + b_{MN} .$

Так как точка M(x_o;y_o) принадлежит этой прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению:

$y_o = \frac{b}{a}x_o + b_{MN} , \Rightarrow b_{MN} = y_o - \frac{b}{a}x_o ,$

$y = \frac{b}{a}x + y_o - \frac{b}{a}x_o .$

Так как N(x₁;y₁) принадлежит этой прямой, то её координаты также удовлетворяют этому уравнению:

$y_1 = \frac{b}{a}x_1 + y_o - \frac{b}{a}x_o .$

Отсюда

$y_1 - y_o = \frac{b}{a}(x_1 - x_o ), \Rightarrow \frac{{y_1 - y_o }}{b} = \frac{{x_1 - x_o }}{a}.$

Обозначим

$\frac{{y_1 - y_o }}{b} = \frac{{x_1 - x_o }}{a} = q,$

тогда

$y_1 - y_o = bq,x_1 - x_o = aq.$

По формуле расстояния между точками

$d = MN = \sqrt {(x_1 - x_o )^2 + (y_1 - y_o )^2 } .$

Таким образом,

$d = \sqrt {(aq)^2 + (bq)^2 } = \sqrt {q^2 (a^2 + b^2 )} = \left| q \right|\sqrt {a^2 + b^2 } .$

$y_1 - y_o = bq,x_1 - x_o = aq, \Rightarrow y_1 = bq + y_o ,x_1 = aq + x_o .$

Подставим x₁и y₁ в уравнение ax+by+c=0:

$a(aq + x_o ) + b(bq + y_o ) + c = 0,$

откуда

$a^2 q + ax_o + b^2 q + by_o + c = 0,$

$q(a^2 + b^2 ) = - (ax_o + by_o + c),$

$q = - \frac{{ax_o + by_o + c}}{{a^2 + b^2 }}.$

Подставим найденное значение q в равенство

$d = \left| q \right|\sqrt {a^2 + b^2 }$

$d = \left| { - \frac{{ax_o + by_o + c}}{{a^2 + b^2 }}} \right|\sqrt {a^2 + b^2 } ,$

и после сокращения — окончательный вариант:

$d = \frac{{\left| {ax_o + by_o + c} \right|}}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}.$

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий Отменить ответ