Условие перпендикулярности прямых

I. Выясним условие перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2.

uslovie-perpendikulyarnosti-pryamyhПусть прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2 образуют с положительным направлением оси Ox углы α1 и α2 соответственно.

Обозначим точки пересечения прямых с осью абсцисс через A и B, точку пересечения прямых — C.

Так как α2внешний угол при вершине B треугольника ABC, то

    \[\alpha _2 = 90^o + \alpha _1 .\]

Отсюда угловой коэффициент второй прямой

    \[k_2 = tg\alpha _2 = tg(90^o + \alpha _1 ) = - ctg\alpha _1 = - \frac{1}{{tg\alpha _1 }} = - \frac{1}{{k_1 }}\]

Итак,

условие перпендикулярности прямых:

прямые,  заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:

    \[k_2 = - \frac{1}{{k_1 }}\]

II. Для общего уравнения прямой

    \[a_1 x + b_1 y + c_1 = 0,\]

    \[a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\]

угловые коэффициенты

    \[k_1 = - \frac{{a_1 }}{{b_1 }},k_2 = - \frac{{a_2 }}{{b_2 }}.\]

Отсюда

    \[k_2 = - \frac{1}{{k_1 }}, \Rightarrow - \frac{{a_2 }}{{b_2 }} = \frac{{b_1 }}{{a_1 }}, \Rightarrow a_1 a_2 = - b_1 b_2 ,\]

и условие перпендикулярности прямых в этом случае имеет вид:

    \[a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0.\]

Добавить комментарий