Условие параллельности прямых

I. Выясним, когда две прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2, параллельны.

Число k1 — угловой коэффициент прямой y=k1x+b1 — равно тангенсу угла, который данная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс:

k1 = tg α1.

Аналогично, угловой коэффициент k2 прямой y=k2x+b2 характеризует угол между этой прямой и положительным направлением оси Ox:

k2 = tg α2.

uslovie-parallelnosti-pryamyhПо признаку параллельности прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 параллельны,если соответственные углы α1 и α2 равны.

Из равенства углов следует равенство тангенсов этих углов (180º<α<0°):

α1 = α2 ⇒ tg α1 = tg α2.

А так как k1 =tg α1, k2 = tg α2, то получаем

условие параллельности прямых:

прямые, заданные уравнениями y=k1x+b1 и y=k2x+b2, параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

k1 = k2 .

II. Для общего уравнения прямой

    \[a_1 x + b_1 y + c_1 = 0,\]

    \[a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\]

угловые коэффициенты

    \[k_1 = - \frac{{a_1 }}{{b_1 }},k_2 = - \frac{{a_2 }}{{b_2 }}.\]

Отсюда

    \[- \frac{{a_1 }}{{b_1 }} = - \frac{{a_2 }}{{b_2 }}\]

и получаем условие параллельности для прямых a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0:

    \[\frac{{a_1 }}{{a_2 }} = \frac{{b_1 }}{{b_2 }}\]

Добавить комментарий