Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим три случая положения прямой в координатной плоскости.

uravnenie-pryamoj-x-a1) Если прямая параллельна оси Oy.

В этом случае все её точки имеют одинаковые абсциссы. Например, если точка пересечения прямой с осью Ox имеет абсциссу a, то для всех точек прямой верно равенство

    \[x = a\]

Это равенство является уравнением прямой, параллельной оси Oy.

uravnenie-pryamoj-y-b2) Если прямая параллельна оси Ox.

Все точки прямой имеют одинаковые ординаты. Если точка пересечения прямой с осью Oy имеет ординату b, то для всех точек прямой верно равенство

    \[y = b\]

это равенство является уравнением прямой, параллельной оси Ox.

 

uravnenie-pryamoj-s-uglovym-koehfficientom3) Если прямая не параллельна ни одной из осей.

Пусть α — угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Выберем на прямой произвольную точку A(x;y). Проведём через точку A прямые, параллельные осям.

Рассмотрим образованный этими прямыми прямоугольный треугольник ABC.

AC=y-b, BC=x, ∠ABC=α (как соответственные при BC∥Ox и секущей AB).

По определению тангенса

    \[tg\angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}}, \Rightarrow tg\alpha = \frac{{y - b}}{x}\]

Обозначим tgα=k. Число k называют угловым коэффициентом прямой  (эта величина играет очень важную роль). Тогда

    \[k = \frac{{y - b}}{x},\]

откуда

    \[y = kx + b\]

Это уравнение называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если A — точка, лежащая не в I четверти, рассуждения усложняются, но в результате приходим к тому же уравнению: y=kx+b.

Если угол α — тупой, в прямоугольном треугольнике находят тангенс угла, смежного с α.

Уравнение y=b можно считать частным случаем уравнения y=kx+b, что согласуется с геометрическим смыслом k, поскольку для прямой, параллельной оси Oy, α=0°, а tg0°=0.

Для прямой, параллельной оси Oy, уравнение x=a не является частным случаем уравнения y=kx+b (что также согласуется с геометрическим смыслом k, так как в этом случае α=90°, а tg 90° не существует).

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом задает все прямые, не параллельные оси Oy:

y=kx+b или y=b.

Прямые, параллельные оси Oy, задаются уравнением x=a другого вида.

Добавить комментарий