Угол между биссектрисами внешних углов

 Задача.

Один из углов треугольника равен альфа. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.

ugol-mezhdu-bissektrisami-vneshnih-uglovДано: ΔABC, ∠A=α,

BF и CF — биссектрисы внешних углов при вершинах B и C

Найти: ∠BFC

Решение:

Обозначим ∠ABC=β, ∠ACB=γ.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, ∠KBC=α+γ, ∠BCN=α+β.

Так как BF — биссектриса угла KBC, CF — биссектриса угла BCN, то

    \[\angle FBC = \frac{{\alpha + \gamma }}{2},\angle FCB = \frac{{\alpha + \beta }}{2}.\]

Так как сумма углов треугольника равна 180°,

    \[\angle FBC + \angle FCB + \angle BFC = 180^o \]

α+β+γ=180°.

Отсюда

    \[\angle BFC = 180^o - (\angle FBC + \angle FCB)\]

    \[\angle BFC = 180^o - (\frac{{\alpha + \gamma }}{2} + \frac{{\alpha + \beta }}{2}) = 180^o - \frac{{\alpha + \beta + \gamma + \alpha }}{2} = \]

    \[= 180^o - \frac{{180^o + \alpha }}{2} = 180^o - \frac{{180^o }}{2} - \frac{\alpha }{2} = 90^o - \frac{\alpha }{2}.\]

Ответ: 90° — α/2.

Добавить комментарий