Теорема
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).
Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.
Доказательство:
Пусть в координатной плоскости задана некоторая прямая m.
Построим отрезок AB так, что AB⊥m и AB∩m=F, AF=BF (то есть прямая m — серединный перпендикуляр к AB).
A(x1;y1), B(x2;y2).
Отметим на прямой m произвольную точку M(x;y).
В прямоугольных треугольниках AFM и BFM:
1) MF — общий катет;
2) AF=BF (по построению).
Значит ΔAFM =ΔBFM (по двум катетам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.
По формуле расстояния между точками
Таким образом,
Возведём в квадрат обе части равенства:
Отсюда
Здесь x1, y1, x2, y2 — некоторые числа.
Введём обозначения 2(x2-x1)=a, 2(y2-y1)=b, x1² +y1² -x2² -y2²=c.
Уравнение принимает вид: ax+by+c=0.
В силу произвольности выбранной точки M этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой m (если же M(x;y)∉m, то AM≠BM и координаты точки M уравнению не удовлетворяют).
Так как точки A и B различны, хотя бы одна из разностей x2-x1, y2-y1 отлична от нуля, значит a и b не обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.
Частные случаи расположения прямой в декартовой системе координат
I. a=0, b≠0.
Подставим эти значения в уравнение прямой: 0·x+by+c=0. Отсюда by+c=0, by=-c,
Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс.
В частности, y=0 — уравнение оси Ox.
II. a≠0, b=0.
ax+0·y+с=0, ax+c=0, ax=-c,
Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси ординат.
В частности, x=0 — уравнение оси Oy.
III. a≠0, b≠0, c=0.
ax+by+0=0, ax+by=0, by=-ax,
Это уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат.
Замечание.
При b≠0 (то есть для прямых, не параллельных оси Oy) общее уравнение прямой ax+by+c=0 может быть преобразовано:
Обозначив
получим знакомое уравнение прямой с угловым коэффициентом y=kx+b.