Общее уравнение прямой

Теорема

В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).

Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.

Доказательство:

Пусть в координатной плоскости задана некоторая прямая m.

obshchee-uravnenie-pryamojПостроим отрезок AB так, что AB⊥m и AB∩m=F, AF=BF (то есть прямая m — серединный перпендикуляр к AB).

A(x1;y1), B(x2;y2).

Отметим на прямой m произвольную точку M(x;y).

В прямоугольных треугольниках AFM и BFM:

1) MF — общий катет;

2) AF=BF (по построению).

Значит  ΔAFM =ΔBFM (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.

По формуле расстояния между точками

    \[AM = \sqrt {(x - x_1 )^2 + (y - y_1 )^2 } ,\]

    \[BM = \sqrt {(x - x_2 )^2 + (y - y_2 )^2 } .\]

Таким образом,

    \[\sqrt {(x - x_1 )^2 + (y - y_1 )^2 } = \sqrt {(x - x_2 )^2 + (y - y_2 )^2 }\]

Возведём в квадрат обе части равенства:

    \[(x - x_1 )^2 + (y - y_1 )^2 = (x - x_2 )^2 + (y - y_2 )^2 \]

Отсюда

    \[x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2 = \]

    \[= x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2 ,\]

    \[- 2xx_1 + x_1^2 - 2yy_1 + y_1^2 + 2xx_2 - x_2^2 + 2yy_2 - y_2^2 = 0,\]

    \[(2xx_2 - 2xx_1 ) + (2yy_2 - 2yy_1 ) + (x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2 ) = 0,\]

    \[2(x_2 - x_1 )x + 2(y_2 - y_1 )y + (x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2 ) = 0.\]

Здесь x1, y1, x2, y2 — некоторые числа.

Введём обозначения 2(x2-x1)=a, 2(y2-y1)=b, x1² +y1² -x2² -y2²=c.

Уравнение принимает вид: ax+by+c=0.

В силу произвольности выбранной точки M этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой m (если же M(x;y)∉m, то AM≠BM и координаты точки M уравнению не удовлетворяют).

Так как точки A и B различны, хотя бы одна из разностей x2-x1, y2-y1 отлична от нуля, значит a и b не обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Частные случаи расположения прямой в декартовой системе координат

I. a=0, b≠0.

Подставим эти значения в уравнение прямой: 0·x+by+c=0. Отсюда by+c=0, by=-c,

    \[y = - \frac{c}{b}.\]

Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс.

В частности, y=0 — уравнение оси Ox.

II. a≠0, b=0.

ax+0·y+с=0, ax+c=0, ax=-c,

    \[x = - \frac{c}{a}.\]

Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси ординат.

В частности, x=0 — уравнение оси Oy.

III. a≠0, b≠0, c=0.

ax+by+0=0, ax+by=0, by=-ax,

    \[y = - \frac{a}{b}x.\]

Это уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат.

Замечание.

При b≠0 (то есть для прямых, не параллельных оси Oy) общее уравнение прямой ax+by+c=0 может быть преобразовано:

    \[by = - ax - c,\]

    \[y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}.\]

Обозначив

    \[- \frac{a}{b} = k, - \frac{c}{b} = b,\]

получим знакомое уравнение прямой с угловым коэффициентом y=kx+b.

Добавить комментарий