Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой в отрезках на осях позволяет строить прямую в координатной плоскости без каких-либо дополнительных вычислений.

Рассмотрим общее уравнение прямой

    \[ax + by + c = 0\]

при условии a≠0, b≠0, c≠0 (то есть прямая не параллельна ни одной из осей координат и не проходит через начало отсчёта).

Перепишем уравнение в виде

    \[ax + by = - c\]

и разделим обе части на -с:

    \[\frac{{ax}}{{ - c}} + \frac{{by}}{{ - c}} = 1\]

Отсюда

    \[\frac{x}{{\frac{{ - c}}{a}}} + \frac{y}{{\frac{{ - c}}{b}}} = 1.\]

Обозначим

    \[\frac{{ - c}}{a} = m,\frac{{ - c}}{b} = n,\]

получим уравнение

    \[\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1.\]

Это — уравнение прямой в отрезках на осях, так как числа m и n соответствуют длинам отрезков (с соответствующими знаками), которые прямая отсекает на осях координат (считая от начала отсчёта).

В самом деле, в точке пересечения с осью Ox y=0:

    \[\frac{x}{m} + \frac{o}{n} = 1, \Rightarrow \frac{x}{m} = 1, \Rightarrow x = m.\]

В точке пересечения с осью Oy x=0:

    \[\frac{0}{m} + \frac{y}{n} = 1, \Rightarrow \frac{y}{n} = 1, \Rightarrow y = n.\]

Примеры.

Построить прямую:

    \[1)\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{4} = 1;\]

    \[2)\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 6}} = 1.\]

Решение:

1)

uravnenie-pryamoj-v-otrezkah-na-osyah

Прямая

    \[\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{4} = 1\]

отсекает на оси Ox отрезок -2, на оси Oy — отрезок 4.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-2; 0) и (0;4) и проводим через них прямую.

 

2)

pryamaya-v-otrezkah-na-osyahПрямая

    \[\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 6}} = 1\]

отсекает на оси Ox отрезок 3, на оси Oy — отрезок -6.

Отмечаем точки (3;0) и (0;-6) и проводим через них прямую.

Добавить комментарий