Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Выведем уравнение прямой, проходящей через 2 точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2).

Подставим координаты данных точек в уравнение прямой с угловым коэффициентом:

    \[\left\{ \begin{array}{l} y_1 = kx_1 + b; \\ y_2 = kx_2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = y_1 - kx_1 ; \\ b = y_2 - kx_2 . \\ \end{array} \right.\]

Приравняем правые части равенств:

    \[y_2 - kx_2 = y_1 - kx_1 \]

Отсюда

    \[y_2 - y_1 = kx_2 - kx_1 ,\]

    \[k = \frac{{y_2 - y_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

Полученное значение углового коэффициента подставим в уравнение y=kx+b:

    \[y = \frac{{y_2 - y_1 }}{{x_2 - x_1 }}x + b\]

Так как b=y1-kx1, то

    \[y = \frac{{y_2 - y_1 }}{{x_2 - x_1 }}x + y_1 - \frac{{y_2 - y_1 }}{{x_2 - x_1 }}x_1 \]

    \[y - y_1 = \frac{{(y_2 - y_1 )(x - x_1 )}}{{x_2 - x_1 }}\]

Разделим обе части равенства на y2-y1:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

Получили уравнение прямой, проходящей через две точки с данными координатами.

Добавить комментарий