Формула расстояния между точками

Формула для нахождения расстояния между двумя точками A(x1;x2) B(x2;y2) на плоскости:

    \[AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} \]

Доказательство:

Сначала рассмотрим частные случаи.

rasstoyanie-mezhdu-tochkami-formula1) Если y1=y2,

то

    \[AB = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\]

 

К этой же формуле придём, если подставим координаты точек A и B в общую формулу:

    \[AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_1} - {y_1})}^2}} = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|.\]

2) rasstoyanie-mezhdu-2-tochkami-formulaАналогично, если x1=x2:

    \[AB = \left| {{y_2} - {y_1}} \right|\]

Эту же формулу получим, подставив координаты A и B в общую формулу:

    \[AB = \sqrt {{{({x_1} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} = \sqrt {{{({y_2} - {y_1})}^2}} = \left| {{y_2} - {y_1}} \right|.\]

3) Если x1=x2 и y1=y2, AB=0. Формула для этого случая также верна.

4) Если x1≠x2, y1≠y2.

formula-rasstoyaniya-mezhdu-tochkamiПроведём через точки A и B прямые, перпендикулярные координатным осям. Обозначим точку пересечения этих прямых через C.

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора

    \[A{B^2} = A{C^2} + C{B^2}.\]

Поскольку

    \[AC = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|,CB = \left| {{y_2} - {y_1}} \right|,\]

    \[A{B^2} = {\left| {{x_2} - {x_1}} \right|^2} + {\left| {{y_2} - {y_1}} \right|^2}\]

или

    \[A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}.\]

Отсюда

    \[AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} .\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий