Формула расстояния между точками |

Формула для нахождения расстояния между двумя точками A(x1;x2) B(x2;y2) на плоскости:

$AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}}$

Доказательство:

Сначала рассмотрим частные случаи.

rasstoyanie-mezhdu-tochkami-formula 1) Если y1=y2,

то

$AB = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|$

К этой же формуле придём, если подставим координаты точек A и B в общую формулу:

$AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_1} - {y_1})}^2}} = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|.$

2) rasstoyanie-mezhdu-2-tochkami-formula Аналогично, если x1=x2:

$AB = \left| {{y_2} - {y_1}} \right|$

Эту же формулу получим, подставив координаты A и B в общую формулу:

$AB = \sqrt {{{({x_1} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} = \sqrt {{{({y_2} - {y_1})}^2}} = \left| {{y_2} - {y_1}} \right|.$

3) Если x1=x2 и y1=y2, AB=0. Формула для этого случая также верна.

4) Если x1≠x2, y1≠y2.

formula-rasstoyaniya-mezhdu-tochkami Проведём через точки A и B прямые, перпендикулярные координатным осям. Обозначим точку пересечения этих прямых через C.