Формулы координат середины отрезка

Пусть A(x1;y1) и B(x2;y2) — две произвольные точки, C(x;y) — середина отрезка AB.

Чтобы найти координаты середины отрезка через координаты его концов используется формула:

    \[x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};y = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\]

Доказательство:

I. Если отрезок AB не пересекает ось Ox.

1) При x2>x1.

koordinaty-serediny-otrezka-formulaПроведём через точки A, B и C прямые AA1, BB1, CC1, перпендикулярные оси Ox.

Прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны оси Oy (по признаку параллельности прямых). Эти прямые пересекают ось Ox соответственно в точках A1(x1;0), B1(x2;0) и C1(x;0).

Так как AC=CB и прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны, то A1C1=C1B1 (по теореме Фалеса).

    \[{A_1}{C_1} = x - {x_1},{C_1}{B_1} = {x_2} - x,\]

откуда

    \[x - {x_1} = {x_2} - x,2x = {x_1} + {x_2},\]

    \[x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.\]

2) При x2<x1

koordinaty-serediny-otrezka-na-ploskosti-formulaрассуждения аналогичны.

    \[{B_1}{C_1} = x - {x_2},{C_1}{A_1} = {x_1} - x,\]

    \[x - {x_2} = {x_1} - x, \Rightarrow x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.\]

 

3) formuly-koordinat-serediny-otrezkaПри x1=x2 абсциссы точек A, B и C одинаковы:

x1=x2=x.

Формула

    \[x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\]

также выполняется:

    \[x = \frac{{x + x}}{2}.\]

 

formuly-dlya-koordinat-serediny-otrezka

 

II. Если отрезок AB пересекает ось абсцисс,

рассуждения повторяются.

 

 

Формула

    \[y = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\]

доказывается аналогично.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий