Координаты точки делящей отрезок

Найдём координаты точки делящей отрезок в данном отношении.

koordinaty-tochki-delyashchej-otrezokДано:

A (x1;y1), B(x2;y2),

C∈AB, AC:CB=m:n.

Доказать:

    \[x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}};\]

    \[y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}\]

Доказательство:

1) При x2>x1; y2>y1.

Проведём через точки A, B и C прямые, параллельные осям Ox и Oy.

Рассмотрим образованные этими прямыми прямоугольные треугольники ACF и CBK.

∠ACF=∠CBK (как соответственные при CF∥BK и секущей AB).

Следовательно, треугольники ACF и CBK подобны (по острому углу).

Следовательно,

    \[\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AF}}{{CK}} = \frac{{CF}}{{BK}}\]

AF=x-x1; CK=x2-x; CF=y-y1; BK=y2-y.

    \[\frac{m}{n} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x}} = \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y}}\]

Отсюда

    \[m(x_2 - x) = n(x - x_1 )\]

    \[mx_2 + nx_1 = nx + mx\]

    \[x(m + n) = nx_1 + mx_2 \]

    \[x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{m + n}}\]

Аналогично,

    \[y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}\]

koordinaty-tochki-delyashchej-otrezok-v-otnoshenii2) При x2=x1; y2>y1

Абсциссы точек A, B и C одинаковы: x2=x1=x. Формула

    \[x = \frac{{nx_1 + mx_2 }}{{n + m}}\]

также выполняется:

    \[x = \frac{{nx + mx}}{{n + m}} = \frac{{x(n + m)}}{{n + m}}.\]

Формула

    \[y = \frac{{ny_1 + my_2 }}{{m + n}}\]

вытекает непосредственно из условия AC:CB=m:n, так что

    \[\frac{m}{n} = \frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y}}\]

3) При  других вариантах взаимного расположения x2 и x1, y2 и y1 доказательство аналогично.

Что и требовалось доказать.

При m=n получаем формулы координат середины отрезка.

Добавить комментарий