Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Пример 1.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

Решение:

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9 = k \cdot ( - 3) + b;\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ - 1 = k \cdot 2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 = 3k - b; \\ - 1 = 2k + b; \\ \end{array} \right.\]

Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a \cdot ( - 3) + b \cdot 9 + c = 0; \\ a \cdot 2 + b \cdot ( - 1) + c = 0; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0; \\ 2a - b + c = 0. \\ \end{array} \right.\]

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0;\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ 2a - b + c = 0; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 9b - c = 0; \\ 2a - b + c = 0; \\ \end{array} \right.\]

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

2x+y-3=0.

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

y= -2x+3.

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

(то есть x1= -3, y1=9, x2=2, y2= -1):

    \[\frac{{y - 9}}{{ - 1 - 9}} = \frac{{x - ( - 3)}}{{2 - ( - 3)}}\]

и упростим:

    \[\frac{{y - 9}}{{ - 10}} = \frac{{x + 3}}{5}, \Rightarrow \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{x + 3}}{1}\]

По основному свойству пропорции

    \[- 2(x + 3) = 1(y - 9), \Rightarrow - 2x - 6 = y - 9,\]

откуда 2x+y-3=0.

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Замечание.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).

Решение:

Подставляем  в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, \Rightarrow \frac{{y - ( - 2)}}{{ - 2 - ( - 2)}} = \frac{{x - 5}}{{7 - 5}},\]

    \[ \frac{{y + 2}}{0} = \frac{{x - 5}}{2}, \Rightarrow y + 2 = 0, \Rightarrow y = - 2.\]

Пример 3.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).

Решение:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, \Rightarrow \frac{{y - 3}}{{11 - 3}} = \frac{{x - 7}}{{7 - 7}},\]

    \[\frac{{y - 3}}{8} = \frac{{x - 7}}{0}, \Rightarrow x - 7 = 0, \Rightarrow x = 7.\]

Добавить комментарий